Δύο πόλεις – Δύο αυτοκίνητα

Ερώτημα:
∆ύο πόλεις, οι πόλεις Α και Β απέχουν 100 km. ∆ύο αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα και τα δύο από την πόλη Α και κατευθύνονται προς την πόλη Β, το ένα µε σταθερή ταχύτητα 60 km/h και το άλλο µε σταθερή ταχύτητα 40 km/h. Το ταχύτερο αυτοκίνητο µόλις φθάσει στην πόλη Β, αµέσως επιστρέφει από τον ίδιο δρόµο προς την πόλη Α.
(α) Να υπολογισθεί η απόσταση που θα έχει καλύψει το βραδύτερο αυτοκίνητο, 48 λεπτά µετά τη στιγµή της εκκίνησης.
(β) Να βρεθεί σε πόσο χρόνο (από τη στιγµή της εκκίνησης) θα συναντηθούν τα δύο αυτοκίνητα και σε ποια απόσταση από την πόλη Α θα γίνει η συνάντηση.
(γ) Αν το βραδύτερο αυτοκίνητο ακινητοποιηθεί λόγω βλάβης 42 λεπτά µετά την εκκίνηση, να υπολογισθεί ο χρόνος συνάντησης των δύο αυτοκινήτων.

Το πιο πάνω ερώτημα είναι από την Γραπτή εξέταση στα Μαθηματικά για πρόσληψη Ειδικών Αστυνομικών το 2011.


Λύση:
Τα δεδομένα μας είναι τα εξής:
Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων: L_{AB}=100km
Η ταχύτητα του αυτοκινήτου 1: U_1=60{km}/h
Η ταχύτητα του αυτοκινήτου 2: U_2=40{km}/h

(α) Το αυτοκίνητο 2 σε 60min(=1h) διανύει 40km. Άρα σε 48min θα διανύσει X_a=\frac{40\times48}{60}=32km

(β) Τα δύο αυτοκίνητα θα συναντηθούν αφού πρώτα το πιο γρήγορο (1) φτάσει στην πόλη Β και ξεκινήσει να επιστρέφει. Άρα αν όπου t ο χρόνος συνάντησης και x η απόσταση από την πόλη Β όπου θα συναντηθούν, τότε:
100-x=40t=>x=-40t+100
100+x=60t
=>100-40t+100=60t=>200=100t=>t=2h

100+x=60\times2=>x=20km
Άρα θα συναντηθούν σε απόσταση 80km από την πόλη Α.

(γ) Το αυτοκίνητο 2 σε 60min(=1h) διανύει 40km. Άρα σε 42min θα διανύσει X_a=\frac{40\times42}{60}=28km
Άρα το αυτοκίνητο 1 θα πρέπει να διανύσει ακόμα X_1=80-28=52km σε σχέση με το ερώτημα (β) για να συναντήσει το αυτοκίνητο 2.
Άρα θα χρειαστεί t_1=2h+\frac{52\times60}{60}=120+52=172min